La figure ci-contre n'est pas en dimensions réelles. On considère SABCD une pyramide régulière de centre de base H et de hauteur le segment [SH]. Le quadrilatère ABCD est un carré.
- Calcule AC.
- Démontre que le triangle SHC est rectangle en H.
- Calcule la hauteur SH
- Calcule l’aire latérale AL.
- Calcule l’aire totale AT de la pyramide.
- Calcule le volume V de cette pyramide.
DONNEES : AB=BC=4 cm ; SC=6 cm
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Correction de
- Calculons AC
[AC] est une diagonale du carré ABCD donc $AC=AB\sqrt{2}$.D’où $AC=4\sqrt{2}$ $\iff$ $AC=5,66cm$.
- Démontrons que SHC est rectangle en H.
SABCD est une pyramide régulière de hauteur [SH] donc $(SH)\bot(AC)$. En conclusion, SHC est rectangle en H.
- Calculons SH.
Considérons le triangle SHC rectangle en H.
On a :
$SC^2=CH^2+ SH^2$ $\iff$ $SH^2=SC^2-CH^2$ avec $CH=\frac{1}{2}AC$ $\iff$ $CH=2\sqrt{2}$
$SH^2=6^2-(2\sqrt{2})^2$
$\iff$ $SH=\sqrt{28}$
$\iff$ $SH=\sqrt{4\times7}$
$\iff$ $SH=2\sqrt{7}$
$\iff$ $SH =5,29cm$.
- Calculons l’aire latérale
A
L
=$\frac{P\times SC}{2}$ avec $P=4+4=8cm$. P est le périmètre.
$A_L=\frac{8\times6}{2}$.Donc $A_L=24cm^2 $.
- Calculons l’aire totale.
$A_T= A_L+AB^2$ $\iff$ $A_T=24+16$ donc $A_T=40cm^2$.
- Calculons le volume V de la pyramide.
$V=\frac{SH.AB^2}{3}$ $\iff$ $V=\frac{16\times 5,29}{3}$ donc $V=28,21cm^3$
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