L’unité est le centimètre. La figure ci-dessous représente un cône de révolution de sommet S, de base le cercle de centre O de rayon le segment [OZ]. On donne : OS=10 ; π= 3
- Sachant que le volume du cône est 250 cm3, Justifie que OZ=5.
-
- Démontre que le triangle SOZ est rectangle O.
- Justifie que $SZ=5\sqrt{5}$
- Calcule l’aire latérale du cône
On sectionne le cône parallèlement à sa base en O' tel que représenté sur la figure.On donne: SO’=2.
-
- Calcule le rapport k de réduction.
- Déduis en le volume du cône réduit.
Afficher la correction.
Correction de
- Justifions que OZ=5cm
On a :
$V=\frac{πr^2\times SO}{3}$ $\iff$ $V=\frac{πOZ^2\times SO}{3}$
$\iff$ $V=\frac{3\times OZ^2\times10}{3}$
$\iff$ $V=10OZ^2$ $\iff$ $OZ=\sqrt{\frac{250}{10}}$
$\iff$ $OZ=\sqrt{\frac{250}{10}}$
Donc $OZ=5cm$.
-
- Démontrons SOZ est rectangle en O.
SAZ étant un cône de révolution de hauteur [SO], on a $(SO)\bot(OZ)$. Ainsi le triangle SOZ est rectangle en O.
- Justifions que $SZ=5\sqrt{5}$.
Considérons le triangle SOZ rectangle en O.
$SZ^2=OZ^2+SO^2$ $\iff$ $SZ=\sqrt{OS^2+OZ^2}$
$\iff$ $SZ=\sqrt{10^2+5^2}$ $\iff$ $SZ=\sqrt{125}$
D’où $SZ=5\sqrt{5}$
- calculons l’aire latérale du cône
- $A_L=\frac{2πr\times SZ}{2}$ $\iff$ $A_L=πOZ\times SZ$
$\iff$ $A_L=3\times5\sqrt{5}$
$\iff$ $A_L=75\sqrt{5}$
Donc $A_L=167,71cm^2$
-
- Calculons le rapport de réduction k
$k=\frac{SO’}{SO}$ $\iff$ $k=\frac{2}{10}$
$\iff$ $k=\frac{1}{5}$
- Calculons le volume $V_P$ du cône réduit.
- On a :
$V_P=\frac{1}{5}\times 250$ donc $V_P=50cm^3$
Format PDF du corrigé
