Correction de

1. Construction (voir figure ci-dessous).
2. 1. Démontrons que $AZ=3\sqrt{2}$
   On a :
   
   
   $AZ=\sqrt{(X_Z-X_A)^2+(Y_Z+Y_A)^2}$ $\iff$ $ AZ=\sqrt{(-3-0)^2+(0-3)^2}$
   
   
   $\iff$ $AZ=\sqrt{9+9}$
   
   
   $\iff$ $AZ=\sqrt{9\times2}$ Ainsi $AZ=3\sqrt{2}$
   1. Démontrons que $AN=3\sqrt{2}$
   On a :
   
   
   $AN=\sqrt{(X_N-X_A)^2+(Y_N+Y_A)^2}$ $\iff$ $ AN=\sqrt{(3-0)^2+(0+3)^2}$
   
   
   $\iff$ $AN=\sqrt{9+9}$
   
   
   $\iff$ $AN=\sqrt{9\times2}$ Ainsi $AN=3\sqrt{2}$
   1. Démontrons que $ZN=6$
   On a :
   
   
   $ZN=\sqrt{(X_N-X_Z)^2+(Y_N+Y_Z)^2}$ $\iff$ $ZN=\sqrt{(3+3)^2+(0-0)^2}$
   
   
   $\iff$ $ZN=\sqrt{36}$
   
   
   $\iff$ Ainsi $ZN=6$
3. Justifions que ZAN est rectangle en A.
On a :

$ZN^2=6^2=36$

$AN^2=AZ^2=(3\sqrt{2})^2$ $AN^2=AZ^2=18$

Donc $ZN^2=AZ^2+AN^2$. On conclut alors que le triangle ZAN est isocèle rectangle en A.
1. Construisons (C) (voir figure ci-dessous).
2. Démontrons que le quadrilatère ZANG est un carré.
G est le symétrique de A par la symétrie orthogonale d’axe (ZN). Donc le triangle ZGN est le symétrique de ZAN par la symétrie orthogonale d’axe (ZN). Ainsi le quadrilatère ZANG est un carré.
3. 1. Calculons les coordonnés du vecteur $\overrightarrow{OZ}$
   On a :
   
   
   $\overrightarrow{OZ}{X_Z-X_O\choose Y_Z-Y_O}$ $\iff$ $\overrightarrow{OZ}{-3-0\choose 0-0}$ $\iff$ $\overrightarrow{OZ}{-3\choose 0}$.
   1. (D) est colinéaire à (OZ) et passe par le point A(3;0)
   donc l'équation y=3 est une équation de (D)