Exercice1

On donne les  polynômes P et Q définis par $P(x)=2x^{3}-x^{2}-2x+1$ et $Q(x)=2x^{2}+x-1$

1/ Vérifier que 1 est une racine de P.

2/ Montrer que pour tout $x \in \mathbf{R}; P(x)=(x-1)Q(x)$

3/ a. Résoudre dans $\mathbf{R}$ l'équation $Q(x)=0$

    b. En déduire les solution de l'équation $P(x)=0$

4/ Résoudre dans $\mathbf{R}$ l'équation: $2lnx+(lnx)^2=2(lnx)^{3}+1$

5/ Résoudre dans $\mathbf{R}$ l'équation: $ln(2x^{3}-2x)=ln(2x^{2}-1)$

Exercice2

Une boite contient 10 pierres précieuses: 6 diamants, 4 rubis bien taillées et indiscernables au toucher.
On sort une a une trois (3) pierres  précieuses de la boite sans les remettre après chaque tirage.
Soit $\mathbf{U}$ l'univers de cette expérience aléatoire.

I/ 1. Définir $\mathbf{U}$ puis calculer $card( \mathbf{U})$

    2. Soit $\mathbf{E}$ l'évènement " On a sorti au moins un des rubis"

Monter que $\mathbf{P(E)}= \frac{5}{6}$

    3. Soit $\mathbf{A}$ l'évènement " On a sorti que des diamants"

Calculer $\mathbf{P(A)}$

    4. Soit $\mathbf{B}$ l'évènement " On a sorti que des rubis"

Calculer $\mathbf{P(B)}$

    5. Soit $\mathbf{C}$ l'évènement " On a sorti qu'un seul rubis"

Calculer $\mathbf{P(C)}$ et monter que $\mathbf{P(C)}= \frac{1}{2}$

    6. Soit $\mathbf{D}$ l'évènement " On a sorti deux  rubis"

Monter que $\mathbf{P(D)}= \frac{3}{10}$

II. Un jeu consiste à payer 1000F CFA et a  sortir 3 pierres précieuses comme dans l'expérience précédente au bout de 3 tirages.
Si un joueur n'obtient pas de rubis il donne 4000 F à l'organisateur du jeu; s'il obtient 1 rubis il gagne 0F, s'il obtient  2 rubis il gagne 400F et s'il obtient 3 rubis il gagne 4000F.
Soit  X la variable aléatoire associée au gain algébrique d'un joueur.

1. Déterminer les valeur de la variable aléatoire X.

2. Donner la loi de probabilité de X.

3. a. Calculer E(x) l'expérience mathématique de X.

    b. Quelle conseil donnerez-vous a un joueur de ce jeu? Justifier votre réponse.

Problème

On donne la fonction $\mathbf{f}$ définie par: $f(x)= \frac{x^{2}-7x+10}{x-1}$,$(C_{f})$ est la courbe
représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,I,J).

1. a. Déterminer $D_f$, l'ensemble de définition de $f$.

    b. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$

    c. Déterminer et interpréter graphiquement $lim_{x_ \rightarrow 1^{-}}f(x)$ et  $lim_{x_ \rightarrow 1^{+}}f(x)$

2. a. Déterminer a,b et c tels que: pour $x \ne 1, f(x)=ax+b+ \frac{c}{x-1}$

    b. Montrer que $(\Delta)$ d'équation $y=x-6$ est une asymptote oblique a $(C_{f})$

    c. Etudier la position relative de $(C_{f})$ par rapport a $(\Delta)$

3. a. Montrer que pour $x \ne 1, f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$

    b. Etudier le signe de $f'(x)$

    c. Donner le sens de variation de $f$

    d. Dresser le tableau de variation de $f$

4. Soit la tangente $(\mathbf{T})$ a $(C_{f})$ au point d'abscisse $x_{0}=2$

5. Montrer que $(\mathbf{T})$ a pour équation $y=-3x+6$

6. Recopier et compléter le tableau suivant:

7.

8. Montrer que le point $\mathbf{A}
\left( \begin{array}{ccc}
1 ; -5
\end{array} \right)$

9. Tracer les droites $(\Delta)$, $(\mathbf{T})$, la droite $(\mathbf{D})$ d'équation $x=1$ et $(C_{f})$