Correction de

1. 1. Démontrons que (OB) est la médiatrice de [EF]
   On a :
   
   
   BE=BF=r’ d’où le triangle BEF est isocèle en B.
   
   
   Ainsi la droite (OB) est la médiatrice [EF].
   1. Déduisons de a) que CEF est isocèle en C.
   (OB) est la médiatrice de [EF] or C appartient à (OB) donc CEF est isocèle en C.
2. Déterminons l’image de CED par la symétrie orthogonale d’axe (OB).
On a :

donc $S_(OB)$(CED)=CFD. Ainsi le triangle CFD est l'image du triangle CED par la symétrie orthogonale d'axe (OB).
1. 1. Démontrons que BCE est rectangle en E.
   BCE est un triangle inscrit dans le cercle (C) de diamètre [BC] donc BCE est rectangle en E.
   
   
   1. Justifions que $CE=2\sqrt{15}$.
Considérons le triangle BCE rectangle en E.

On a :

$BC^2=CE^2+BE^2$ $\iff$ $CE^2=BC^2-BE^2$

$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}$

$\iff$ $CE=\sqrt{8^2-2^2}$

$\iff$ $CE=\sqrt{60}$

$\iff$ $CE=\sqrt{4\times15}$

Donc $CE=2\sqrt{15}$.
1. 1. Calculons le sinus de l’angle $\widehat{BCE}$
   On a :
   
   
   $sin\widehat{BCE}=\frac{BE}{BC}$ $\iff$
   
   
   $sin\widehat{BCE}=\frac{2}{8}$ $\iff$ $sin\widehat{BCE} =0,25$.
   1. Déduisons la mesure de l’angle $\widehat{BCE}$
   On a :
   
   
   $sin\widehat{BCE}=0,25$ $\iff$ $mesc\widehat{BCE}=sin^{-1}(\widehat{BCE})$
   
   
   $\iff$ $mes\widehat{BCE}=sin^{-1} (0,25)$ donc $mes\widehat{BCE}=14,5°$.
   1. Déterminons la mesure de l’angle $\widehat{BOE}$.
   $\widehat{BCE}$ est un angle aigu inscrit dans le cercle (c). $\widehat{BOE}$ est l’angle au centre qui lui est associé.
   
   
   On a alors $mes\widehat{BOE}=2mes\widehat{BCE}$ $\iff$ $mes\widehat{BOE}=2\times 14,5$
   
   
   $\iff$ $mes\widehat{BOE}=29°$
2. 1. Justifions que $EH=\frac{EC}{4}$
   CHE est un triangle rectangle en A. On a :
   
   
   $sin\widehat{HCE}=mes\widehat{BCE}$ $\iff$ $\frac{EH}{CE}=\frac{BE}{BC}$
   
   
   $\iff$ $EH=\frac{BE.CE}{BC}$
   
   
   $\iff$ $EH=\frac{2CE}{8}$
   
   
   donc $EH=\frac{CE}{4}$.
   
   
   1. Déduisons en que $EF=\sqrt{15}$
   On a :
   
   
   H est le milieu de [EF] donc $EF=2EH$ $\iff$ $EF=\frac{2CE}{4}$
   
   
   $EF=\frac{2\times2\sqrt{15}}{4}$ donc $EF=\sqrt{15}$.
3. Démontrons OEF est un triangle isocèle
On a: OE=OF=r donc OEF est isocèle en O
4. Calculons l’aire du triangle CEF.
$AIRE=\frac{HC.EF}{2}$

Calculons CH.

CHE est un triangle rectangle en H. Donc $EH^2+CH^2=CE^2$ $\iff$ $CH^2=CE^2-EH^2$ avec $EH=\frac{EF}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2}$

. Ainsi $CH^2=(2\sqrt{15})^2-(\frac{\sqrt{15}}{2})^2$

$CH^2=4\times15-\frac{15}{4}$ $\iff$ $CH^2=\frac{16\times15-15}{4}$

Donc $CH=\sqrt{\frac{15^2}{4}}$.

$CH=\frac{15}{2}$.

Il vient alors $AIRE=\frac{\frac{15}{2}\times\sqrt{15}}{2}$ $\iff$ $AIRE=\frac{15\sqrt{15}}{4}$.

Donc $AIRE=14,52cm^2$.