Correction de

1. Démontrons que ABC est rectangle en A.
ABC est un triangle inscrit dans le cercle (C) de diamètre [BC] donc ABC est rectangle en A.
2. Calculons AB
On a:

$sin\widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}$

$\iff$ $AB=BCsin\widehat{ACB}$

$\iff$ $AB=5Sin30°$

$\iff$ $AB=\frac{5}{2}$

$\iff$ $AB=2,5 cm$
1. Calculons AC.
On a:

$Cos\widehat{ACB}=\frac{AC}{BC}$

$\iff$ $AC=BCcos\widehat{ACB}$.

$\iff$ $AC=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$\iff$ $AC=4,33 cm$

1. Démontrons que $(AC)\parallel(IE)$.
ABC est un triangle. La droite (IE) passe par O et I, milieux respectifs de [BC] et [AB].

D’où $(AC)\parallel(IE)$.
1. Justifions que $mes\widehat{AEB}= 30°$
Les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{AEB}$ sont deux angles aigus inscris dans le cercle (C) et interceptant le même arc de cercle.

donc $mes\widehat{AEB}=mes\widehat{ACB}= 30°$.
1. Démontrons que AEB est isocèle en E.
On a: $(AC)\parallel(IE)$ or $ (AB)\bot(AC)$ donc $(AB)\bot(IE)$.

Déplus I est le milieu de [AB]. Ainsi (IE) est la médiatrice de [AB].

On conclut donc que AEB est un triangle isocèle en E.

1. Justifions que AEI est rectangle en I.
(EI) est la médiatrice de [AB] donc AEI est rectangle en I.

Calculons IE

On sait que $IE=IO+OE$.

Considérons le triangle ABC ; (IO) passe par les milieux de [BC] et [AB].

Donc $IO=\frac{1}{2}AC$ $\iff$ $IO=\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Déplus $EO=CO=rayon=\frac{BC}{2}$.

$\iff$ $EO=\frac{5}{2}$.

Donc $IE=\frac{5\sqrt{3}}{4}+\frac{5}{2}$

$IE=4,67 cm$.
1. Calculons l’aire de AEB.
$AIRE=\frac{AB .EI}{2}$.

$\iff$ $AIRE=\frac{2,5\times4,67}{2}$

$\iff$ $AIRE=8,84 cm^2$