Exercice 1
L’entreprise Ivoirbois, spécialisée dans l’industrie du bois, envisage de faire des prévisions pour l’année 2007 du coût de production de feuilles de contre-plaquées en fonction du chiffre d’affaires. Elle dispose à cet effet des statistiques résumées dans le tableauci-dessous :
Chiffre d’affaires X (en millions de francs) 350380500450580650700 Coût de production Y(en millions de francs) 40455055606570
| Années | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
- Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série double (X, Y) dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O, I, J).
On prendra 1 cm pour 50 millions de francs en abscisse et 1 cm pour 5 millions de francs en ordonnées.
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- Calculer le chiffre d’affaires moyen $\overline{X}$.
- Calculer le coût moyen de production$\overline{Y}$
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- Vérifier qu’un arrondi à l’entier de la covariance cov (X, Y) de la série statistique est égal à 1193.
- Justifier l’exisrence d’un ajustement linéaire entre X et Y.
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- Déterminer une équation de la droite (D) d’ajustement de Y en fonction de X par la méthode des moindres carrés.
- Construire (D) dans le repère (O, I, J).
- Utiliser l’ajustement précédent pour prévoir le coût de production de l’entreprise Ivoirbois de l’année 2007 si le chiffre d’affaires de l’année 2007 est de 800 millions de francs.
Exercice 2
Soit la suite définie $(U_n)_{n \in \mathbf{N}}$ par:$ \left\{ \begin{array}{ll} U_0=0 \\ U_{n+1}=\frac{3}{5}U_n+1 \end{array} \right.$
- Dans le plan rapporté à un repère (O, I J) représenter sur l’axe des abscisses les termes $ U_0; U_1; U_2$ et $U_3$ de la suite $(U_n)_{n \in \mathbf{N}}$ (unité graphique 2 cm).
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- Démontrer par récurrence que la suite $(U_n)_{n \in \mathbf{N}}$ est majorée par $\frac{5}{2}$.
- Démontrer que la suite $(U_n)_{n \in \mathbf{N}}$ converge.
- Soit la suite $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$ définie par :$\forall n \in \mathbf{N}, V_n=U_n-\frac{5}{2}$
- Démontrer que la suite $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
- Exprimer$V_n$ puis $U_n$ en fonction de n.
- Déterminer la limite de $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$
Problème
Partie A
On considère la fonction g dérivable sur $\mathbf{R} et définie par : g(x) =(1-x)e^{1-x}-1$
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- Justifier que la limite de g en $+∞$ est -1
- Déterminer la limite de g en $-∞$.
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- Démontrer que, pour tout x élément de $\mathbf{R} , g’(x) =(x-2)e^{1-x}$.
- Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.
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- Démontrer que l’équation $x \in \mathbf{R}, g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.
- Justifier que $0,4<\alpha<0,5$
- En déduire que :$ \left\{ \begin{array}{ll} \forall x \in ]-∞;\alpha[, g(x)>0 \\ \forall x \in ]\alpha;+∞[, g(x)
Partie B
On considère la fonction f dérivable sur $\mathbf{R}$ et définie par:$f(x)=xe^{1-x}-x+2$
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
L ’unité graphique est 2 cm.
- Déterminer les limites de f en$+∞$ et en $-∞$.
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- Démontrer que f est une primitive de g.
- Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
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- Démontrer que la droite (D) d’équation y = x + 2 est une asymptote oblique à (C) en $+∞$
- Étudier la position relative de (D) et (C).
- Démontrer que (C) admet en $-∞$ une branche parabolique de direction (OJ).
- Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 1
- Démontrer que $f(\alpha)=1-\alpha+ \frac{1}{1-\alpha}$
- Justifier que, pour tout nombre réel x, $f ( x + 2)=e^{x-1}f(x)$
- On admet que l’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions. On appelle $\beta$ l’une de ces solutions. Démontrer que $\beta + 2$ est l’autre solution.
- Tracer (D), (T), et (C). (On prendra $\alpha= 0,4$ et $\beta= 2,5$).
Partie C
- Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif et $A( \lambda)$ l’aire en $cm^2$ de la partie du plan délimitée par (C), la droite (D)d’équation $y=-x+2$ et les droites d’équation x = 0 et $x =\lambda$
- Calculer $A( \lambda)$ à l’aide d’une intégration par parties.
- Déterminer la limite $A( \lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers$+∞$
