Exercice 1
a est un nombre réel strictement positif et différent de 1.
On considère la fonction f dérivable sur $\mathbb R^{*}$ et définit par : f(x)= $\sqrt{1-ax^{2}}$
On admettra que f est strictement croissante sur $\mathbb R^{*}$
Soit la suite (Un) définie par :$\left\{ \begin{array}{ll}U_{0}=0 \\ \forall x \in \mathbb N, U_{n+1}= f(Un) \end{array} \right.$
1. On suppose que 0<a<1
a. Démontrer par recurrence que:
i. pour tout n élément de N, $0 \leq U_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{1-a}}$
ii. la suite (Un) est croissanre
b. Démontrer que la suite (Un) est convergente puis déterminer sa limite.
2. on suppose que : a>1
Soit la suite (Vn) définie par $Vn = (U{n+1})^{2}-(U_{n})^{2}$ pour tout entier naturel n.
a. Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
b. En déduire que $\in N,(U_{n+1})^{2}-(U_{n})^{2}=a^{n}$
c. On pose S_0=1 et $Sn=1+a+a+……. +a{n-1}$, pour $n\in N^{*}$
Justifier que Sn = $\frac{1-a{n}}{1-a}$
d. En déduire que $\in\mathbb N, Un=\sqrt{Sn}$
Exercice 2
Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O ;$\overrightarrow{e1}$ ; $\overrightarrow{e2}$), d’unité 1cm.
On considère les points A (-1 ; 0) et I (4 ; 0).
On note € l’ellipse de centre I dont un sommet est A et un foyer est le point O.
1. a- Déterminer les coordonnées des trois autres sommets de (E) dans le repère (O;$\overrightarrow{e1}$ ; $\overrightarrow{e2}$).
b. Justifier que l’excentricité de (E) est $\frac{4}{5}$
c. Donner une équation de la droite (D) de l’ellipse (E) associée au foyer O dans le repère O ; $\overrightarrow {e1}$ ; $\overrightarrow {e2}$).
2. a- Démontrer qu’une équation de (E) dans le repère O ;$\overrightarrow{e1}$ ; $\overrightarrow{e2}$) est : $\frac{(x-4)^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$
b. Construire (E)
3. On considère l’équation :
E$\alpha : Z \in C, (Z ^ {2}-24+5cos\alpha) Z + 4cos\alpha + 5^ {2}$ = 0 avec $\alpha \in (0 ; \pi$).
a. Justifier que le discriminant de (E$\alpha$) et $\Delta=(6sin\alpha)^{2}$
b. Résoudre l’équation (E$\alpha$)
On note M1 le point d’affixe Z1 et M2 le point d’affixe Z2 dans le repère O ;$\overrightarrow{e1}$ ; $\overrightarrow{e2}$).
Démontrer que M1 et M2 appartiennent à (E) lorsque $\alpha$ décrit l’intervalle [0, $\pi$]
Problème
Partie A
On considère la fonction dérivable sur]0 ; +$\infty$ [et définie par : $f(X)=\frac {lnX}{1+X^{2}}$
On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormé (o, I, J). Unités OI= 2cm et OJ= 4cm.
I. Soit la fonction u dérivable sur ]0 ; +$\infty$[ et définie par u(x)= $1+x^{2}-2x^{2}lnx$
1. Calculer $lim_{x \to 0} u{(x)}$ et $lim_{x \to +\infty} u{(x)}$
2. a. Etudier les variations de u sur ]0, +$\infty$[ puis dresser son de variation
b. Démontrer que l’équation : (E) : x $\in]0 ; +\infty$[, u(x)=0 admet une solution unique $\alpha$.
c. Démontrer que 1.89 <$\alpha$ < 1.9
d. Justifier $\left\{ \begin{array}{ll}si x \in ]0; \alpha[ alors u{(x)}>0 \\si x \in [\alpha ; +\infty[ alors u{(x)} \leq 0 \end{array} \right.$
II.
1. Calculer $lim_{x \to 0} f(x)$ et $lim_{x \to +\infty} f(x)$
2. a. Démontrer que pour tout x élément de]0; +$\infty$ [ ; f’(x) = $\frac{u(x)}{x(1+x^{2})^{2}}$
b. Démontrer que f($\alpha$) = $\frac{1}{2\alpha^{2}}$
c. Etudier les variations de f sur]0 ; +$\infty$ [ puis dresser le tableau de variation de f.
3. a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de (C) et (OI)
b. Déterminer suivant les valeurs de x, le signe de f(x) pour tout x élément de ]0 ; +$\infty$ [.
4. Tracer (C) dans le plan muni du repère (O, I, J).
Partie B
On note F la fonction dérivable sur]0 ; +$\infty$ [ et définie par :
F(X) = $\int_{t}^{x} \frac{lnt}{1+t^{2}}dt$
1. a. Déterminer le signe de F sur]0 ; +$\infty$ [.
b. Calculer F’(x) pour tout nombre réel X élément de]0 ; +$\infty$ [
- On note $\varphi$ la bijection réciproque de la fonction tangente sur [0 ; $\frac{\pi}{2}$ [
a. Démontrer que pour tout X élément de [0 ; +$\infty$ [, $\varphi{‘}$ = $\frac{1}{1+X^{2}}$
b. Soit h la fonction définie par:$\left\{ \begin{array}{ll}\forall x \in] 0; +\infty [, h(x) = \frac {\varphi(x)}{x} \\h(0) = 1 \end{array} \right.$
Démontrer que h est continue en 0.
3. a. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que :
$\forall x \in] 0; +\infty [, F(x) = \varphi(x)lnx - \int_{t}^{x}h(t)dt$
4. On admettra que F est prolongeable par continuité en 0 et que :
$\forall x \in] 0; +\infty [,F(x) = F(\frac {1}{x})$. Soit G le prolongement par continuité de F en 0.
On pose $G (0) = \ell (\ell \in \mathbb R)$. G est définit par:$\left\{ \begin{array}{ll}\forall x \in]0; + \infty[, G(x) = F(x)\\ G(0) = \ell \end{array} \right.$
On désigne par ($\Gamma$) sa courbe représentative dans le repère (O, I, J).
a. Démontrer que : [$lim_{x \to + \infty} G(x)] = \ell$
b. Etudier les variations de G sur [0 ; +$\infty$[, puis dresser son tableau de variation
5. On pose:
$\forall n \in N= [Vn = \sum_{k=0}^{n}\frac{-1^{k}}{(2k+1)^{2}}] =\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{3^{2}}+ \ldots + \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}$
On admet que:| $\ell - Vn| \leq \frac{l}{(2n+3)^{2}}$
a. Justifier que : V2 = $\frac{209}{225}$
b. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : $\frac{1}{(2n+3)^{2}} \leq 25.10^ {-3}$
c. En déduire une valeur approchée de $\ell$ à $25.10^{-3}$ près.
d. Donner l’allure de ($\Gamma$) dans le plan muni du repère (O ; I ; J).
