Sur la figure ci-dessous SABCD est une pyramide de à base carré H et de hauteur le segment [SH]. On donne : AB=BC= 4 cm.
- Justifie que SABCD est une pyramide régulière.
- Calcule HC.
- Calcule SH sachant que SC= 5 cm.
- Calcule le volume V de cette pyramide.
- On sectionne la pyramide SABCD en S’. tel que $HS’= \frac{2}{3}SH$.
- Calcule le volume VT du tronc de la pyramide.
- Déduis-en le volume de la pyramide SA’B’C’D’.
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Correction de
- Justifions que SABCD est une pyramide régulière.
ABCD est un carré donc SABCD est une pyramide régulière.
- Calculons HC
On a :
$HC=\frac{1}{2}AC$ or $AC=AB\sqrt{2}$ $\iff$ $AC=4\sqrt{2}$ Il vient alors $HC=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}$
$\iff$ $HC=2\sqrt{2}$.
- Calculons SH
Considérons le triangle SCH est rectangle en H.
$SC^2=SH^2+HC^2$ $\iff$ $SH^2=SC^2-HC^2$.
$\iff$ $SH^2=5^2-(2\sqrt{2})^2$
$\iff$ $SH= \sqrt{17}$ donc $SH=4,12cm$.
- Calculons le volume V.
On a :
$V=\frac{SH.AB^2}{3}$ $\iff$ $V=\frac{16\times4,12}{3}$ On obtient $V=21,97cm^2$.
- Calculons le volume $V_T$ du tronc de la pyramide.
On a :$SH’=\frac{2}{3}SH$ $\iff$ $V_T=\frac{2}{3}V$
$\iff$ $V_T=\frac{2}{3}\times21,97$
$\iff$ $V_T=14,65cm^ 3$
- Calculons le volume de SA’B’C’D’.
Soit V’ le volume de SA’B’C’D’.
$V’=V-V_T$ $\iff$ $V’=21,97-14,65$ donc $V’=7,32cm^3$.
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