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1. LIMITE FINIE EN L'INFINI

1. Definition

Soit une fonction $f$ définie sur l’intervalle $]a,+\infty[ $ et $L$ un réel.
On dira que $L$ est la limite de $f$ en $+\infty$ si pour des valeurs de $x$ de plus en plus grandes, $f(x)$ est au voisinage de $L$.
C'est-à-dire que f(x) prend des valeurs de plus en plus proches de $L$ si $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes.
On note : $lim_{x \to +\infty}f(x)=L$ et on lit « limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f(x)$ est égale a $L$. »

1. Interprétation géométrique

Propriété

Si $lim_{x \to +\infty}f(x)=L$ (respectivement $lim_{x \to -\infty}f(x)=L$) alors $C_f$ admet
une asymptote horizontale d’équation $y=L$ en $+\infty$ (respectivement en $-\infty$).

Explication

- Si vous calculez une limite en $+\infty$ et que vous trouvez un nombre réel $L$, alors $C_f$ admet
une asymptote horizontale d’équation $y=L$ en $+\infty$.

- Si vous calculez une limite en $-\infty$ et que vous trouvez un nombre réel $L$, alors $C_f$ admet
une asymptote horizontale d’équation $y=L$ en $-\infty$.

Exemple:

Soit $f(x)=\frac{1}{x}$ et $C_f$ sa courbe représentative.

$lim_{x \to +\infty}f(x)=lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}=0$ donc la droite d'équation $Y=0$
(c'est a dire la droite $(OI)$ ) est asymptote a $C_f$ en $+\infty$

$lim_{x \to -\infty}f(x)=lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x}=0$ donc la droite d'équation $Y=0$
(c'est a dire la droite $(OI)$ ) est asymptote a $C_f$ en $-\infty$

1. LIMITE INFINIE EN INFINI

1. Définition

Soit une fonction f définie sur l’intervalle $]a,+\infty[, C_f $.

On dira que la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f(x)$ est égal a $+\infty$

si pour des valeurs de $x$ de plus en plus grandes, $f(x)$ prend des valeurs de plus en plus grandes.

Remarque:

On définit de même la limite en $-\infty$.

Exemple:

$lim_{x \to -\infty}(1+x)=-\infty \qquad lim_{x \to +\infty}(1+x)=+\infty$

1. Limite a l’infinie de fonctions élémentaires

La connaissance de ces limites est essentielle a la détermination de celle de vos fonctions.
Il vous faudra donc les connaître par cœur.
On a :

$lim_{x \to +\infty}x=+\infty$	$lim_{x \to +\infty}x^2=+\infty$
$ lim_{x \to +\infty}x^3=+\infty$	$lim_{x \to +\infty}x^n=+\infty$ (avec $n \geq 1$)
$lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0$	$lim_{x \to -\infty}x=-\infty$
$lim_{x \to -\infty}x^2=+\infty$	$lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x^n}=0$
$lim_{x \to -\infty}x^n =+\infty$ si $n$ est paire.	$lim_{x \to -\infty}x^n=-\infty$ si $n$ est impaire.
$lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x^n}=0$

1. Interprétation géométrique

Propriété

Si $lim_{x \to +\infty}=+\infty$ et si $f$ peut s’écrire sous la forme $f(x)=h(x)+ax+b$ (a et b sont des réels)
avec $lim_{x \to +\infty} h(x)=0$ alors $C_f$ admet une asymptote oblique d’équation $y=ax+b$ en $+\infty$.

Remarque:
Cette propriété est aussi valable en $-\infty$.

Exemple:

Soit la fonction f définie sur $\mathbf{R}$\{-2 ;2} par $f(x)=x-4+\frac{ 4x-9}{x^2-4}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
Montrer que la droite $\mathbf{D}$ d’équation $y=x-4$ est une asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$

Résolution :

F(x) s’écrit sous la forme $f(x)=x-4+h(x)$ avec $h(x)=\frac{4x-9}{x^2-4}$.c Montrons que $lim_{x \to +\infty} h(x)=0$.
On a :
$h(x)=\frac{x(4-\frac{9}{x})}{x(x-\frac{4}{x})}=\frac{4-\frac{9}{x}}{x-\frac{4}{x}}$ car $x \not=0$
$lim_{x \to +\infty}-\frac{4}{x}=-\frac{9}{x}=0$ d’où $lim_{x \to +\infty}(x-\frac{4}{x})=+\infty$
et $lim_{x \to + \infty}(4-\frac{9}{x})=4$ donc $lim_{x \to +\infty}h(x)=0$
Ainsi $lim_{x \to +\infty}f(x)= lim_{x \to +\infty}x-4=+\infty$.
On conclut alors que la droite d’équation $y=x-4$ est une asymptote oblique a $C_f$ en $+\infty$.

1. LIMITE D’UNE FONCTION EN a

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a $ ou de borne $a$.
On dit que $f$ a pour limite le réel $l$ en a lorsqu’on peut toujours trouver un $x$ assez
proche de $a$ pour que $f(x)$ soit aussi proche de $l$ que l’on veut.
On écrit alors que : $lim_{x \to a}f(x)=l$

Propriete

Si f est définie en $a$ et si $f$ est la fonction racine carrée, ou une fonction polynôme, ou une fonction

rationnelle alors $lim_{x \to a}f(x)=f(a)$

1. OPPERATION SUR LES LIMITES

1. Limite de la somme de deux fonctions
Soit f et g deux fonctions. Les sommes des limites de $g$ et $f$ sont enregistres dans le tableau suivant:

Si f a pour limite	et si g a pour limite	alors $f+g$ a pour limite
$l$	$l’$	$l+l’$
$l$	+$\infty$	$\infty$
$l$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$-\infty$	$+\infty$	forme indéterminée

 

• Limite du produit de deux fonctions

 

Si f a pour limite	et si g a pour limite	alors $f \times g$ a pour limite
$l$	$l’$	$l \times l’$
$l \neq 0$	+$\infty$	(signe de $l$ ) $\infty$
$l \neq 0$	$-\infty$	(signe de $-l$ ) $\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$0$	$+\infty$	forme indéterminée
$0$	$-\infty$	forme indéterminée

 

• Limite du quotient de deux fonctions

 

Si f a pour limite	et si g a pour limite	alors $\frac{g}{f}$ a pour limite
$l \neq 0$	$l’$	$\frac{l'}{l}$
$l \neq 0$	+$\infty$	(signe de $l$ ) $\infty$
$l \neq 0$	$-\infty$	(signe de $-l$ ) $\infty$
$+\infty$	$l' \neq 0$	$0$
$-\infty$	$l' \neq 0$	$0$
$0$	$0$	forme indéterminée
$+\infty$	$-\infty$	forme indéterminée
$+\infty$	$+\infty$	forme indéterminée
$-\infty$	$-\infty$	forme indéterminée
$-\infty$	$-\infty$	forme indéterminée

1. LIMITE D’UNE FONCTION POLYNOME

La limite d'une fonction polynôme $P$ est égale a:

• La limite du monôme du plus haut degré si $x$ tend vers $+∞$ ou $−∞$

• La quantité $P(a)$ si $x$ tend vers $a$.

Soit $P(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +a_0$ ($n \in \mathbf{N}$ et $a_n \in \mathbf{R^*}$)

On a:

$lim_{x \to +\infty}P(x)= lim_{x \to +\infty}a_nx^n \qquad lim_{x \to -\infty}P(x)= lim_{x \to -\infty}a_nx^n \qquad lim_{x \to a}P(x)=P(a)$

Exemple:

Soit a calculer $lim_{x \to +\infty}(-3x^5+4x-1)$

(Vous n'avez qu'a trouver le terme qui a le degré le plus grand.

Ici le degré le plus élever est $5$ donc notre polynôme aura la même limite que $-3x^5$)

on a:

$lim_{x \to +\infty}(-3x^5+4x-1)= lim_{x \to +\infty}(-3x^5)=-3 \times lim_{x \to +\infty}x^5=-\infty$ (car $lim_{x \to +\infty}x^5 =+\infty$)

1. LIMITE D’UNE FONCTION RATIONNELLE

Une fonction rationnelle $f$ est un quotient de deux fonctions polynômes.
Sa limite est égale a:

• la limite du rapport des termes de plus haut degré si $x$ tend vers $+∞$ ou $−∞$

• La quantité $ƒ(a)$ si $x$ tend vers a et si $ƒ$ est définie en a.

Une étude plus précise (sur signes) est à faire si $ƒ$ est définie sur un domaine ouvert dont a est une borne.

Explication

Soit la fonction $f(x)=\frac{a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +a_0}{b_px^p +b_{p-1}x^{p-1}+ \ldots +b_0}$.

On a:
$lim_{x \to +\infty}f(x)= lim_{x \to +\infty}\frac{a_nx^n}{b_px^p}$ ($n \in \mathbf{N}$ , $a_n \in \mathbf{R^*}$ , ($p \in \mathbf{N}$ , $b_p \in \mathbf{R^*})$

Exemple:
Soit a alculer $lim_{x \to +\infty}\frac{x^2+1}{-x^5+4x-1}$

(Ici, il vous suffit de trouver les termes de plus haut degré au dénominateur et au numérateur.
Dans notre cas,$x^2$ et $-x^5$ sont les monômes de plus haut degrés respectivement au numérateur et au dénominateur.)
On a:
$lim_{x \to +\infty}\frac{x^2+1}{-x^5+4x-1}=lim_{x \to +\infty}\frac{x^2}{-x^5}=lim_{x \to +\infty}\frac{1}{-x^3}=0$

1. LIMITE DE LA COMPOSEE DE DEUX FONCTIONS

Soit $f$ et $g$ deux fonctions.

si $lim_{x \to a}f(x)=b$ et si $lim_{y \to b}g(x)=c$

Alors $lim_{x \to a}[f(g(x))]=c$

Exemple:

Soit les fonctions $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=x^2-2x+1$ .

On a:

$lim_{x \to 0}f(x)=f(0)=\sqrt{0}=0$ $\qquad$ et $lim_{x \to 0}g(x)=g(0)=0^2-2 \times 0 +1 =1\\$

En conclusion, $lim_{x \to 0}f[g(x)]=1$

1. THEOREME DE COMPARAISONS

Si une fonction est plus grande qu'une fonction qui tend vers $+∞$ alors elle tend vers $+∞$
Si une fonction est inférieure à une fonction qui tend vers $−∞$, alors elle tend vers $−∞$
Soient $ƒ$, $g$ et $h$ des fonctions définies sur un intervalle du type $]a ; +∞[ (a \in \mathbf{R})$

• si, pour tout réel x assez grand, on a $ƒ(x)\geq g(x)$ et si $lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty$
alors $lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

• si, pour tout réel x assez grand, on a $h(x) \geq f(x)$ et si $lim_{x \to +\infty}h(x)=-\infty$
alors $lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$

• si, pour tout réel x tendant vers un reel $a$, on a $ƒ(x)\geq g(x)$ et si $lim_{x \to a}g(x)=+\infty$
alors $lim_{x \to a}f(x)=+\infty$

• si, pour tout réel x tendant vers un réel $a$, on a $h(x) \geq f(x)$ et si $lim_{x \to a}g(x)=-\infty$
alors $lim_{x \to a}f(x)=-\infty$

• Si $\forall x \in ]a ; +∞[$ On a un nombre $L$ tel que $|f(x)-L| \le g(x)$ et $lim_{x \to \alpha}g(x)=0$
Alors $lim_{x \to \alpha}f(x)= L$

Exemple:

Determinons les limites de la fonction $x+cosx$ en $-∞$ et $+∞$.
Pour faire notre calcule nous allons encadrer la fonction $x+cosx$ par deux fonctions dont les limites sont faciles a calculer.
On a:
$-1 \le cosx \le 1$ en ajoutant $x$ a chaque membre de l'inegalite, on obtient $x-1 \le x+cosx \le 1+x$

. Nous pouvons a present passer au calcule des limites.
En $-∞$ nous utiliserons la relation $x+cosx \le 1+x$.
On a $lim_{x \to -\infty}(1+x)=-∞$ et comme $x+cosx \le 1+x$ alors, d'apres le theoreme de la comparaison $lim_{x \to -\infty}(x+cosx)=-∞$

En $+∞$ nous utiliserons la relation $x-1 \le x+cosx$
On a $lim_{x \to +\infty}(x-1)=+∞$ et comme $x-1 \le x+cosx$ alors, d'apres le theoreme de la comparaison $lim_{x \to +\infty}(x+cosx)=+∞$

• THEOREME DES GENDARMES OU DE L'ENCADREMENT

 

Si une fonction est encadree par deux fonctions de limites $l (a \in \mathbf{R})$ en un endroit alors cette fonction a pour limite $l$ en cet endroit.
Soient $ƒ$, $g$ et $h$ des fonctions définies sur un intervalle du type $[a ; +∞[ (a \in \mathbf{R})$

Si pour $x$ assez grand, on a $h(x) \geq ƒ(x)\geq g(x)$ et si $lim_{x \to +\infty}h(x)= lim_{x \to +\infty}g(x)=l$
alors $lim_{x \to a}f(x)=l$

Exemple:

Nous allons determiner la limite en 0 de la fonction $f$ definie sur $]0; +∞[$ par $f(x)=xsin \frac{1}{x}$.

On sait que $\forall u \in \mathbf{R}$, on a : $-1 \le sinu \le 1$ donc $\forall x \in ]0; +∞[ \\qquad -1 \le sin \frac{1}{x} \le 1$.

En multipliant chaque membre de l'inegalite par $x$ avec $x \in ]0; +∞[$, on obtient
$-x \le xsin \frac{1}{x} \le x \iff -x \le f(x) \le x$

Par ailleurs, $lim_{x \to 0^+}(-x)=lim_{x \to 0^+}(x)=0$, donc d'apres le theoreme des gendarmes $lim_{x \to 0^+}f(x)=0$.

• LES BRANCHES INFINIES

 

1. Asymptotes horizontales

On dit que la fonction $f$ admet une asymptote en $-\infty$ ou en $+\infty$ si et seulement si pour $x$ tendant vers $+\infty$ ou $-\infty$,

$f(x)$ tend vers une valeur finie.

Soit $f$ une fonction et $L$ un nombre reel.

• Si $lim_{x \to +\infty}f(x)=L$, alors $C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $Y=L$ en $+\infty$.

• Si $lim_{x \to -\infty}f(x)=L$, alors $C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $Y=L$ en $-\infty$.

Exemple:

soit $f(x)=\frac{2x^3+2x^2+1}{x^3-2}$ Demontrons que la droite d'equation $y=2$ est asymptote horizontale en $-∞$ et $+∞$ .

On a:

$lim_{x \to +\infty}f(x)= lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+2x^2+1}{x^3-2} \\ \qquad \qquad \qquad =lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3}{x^3}\\ \qquad \qquad \qquad =2$

De meme on a:

$lim_{x \to -\infty}f(x)= lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3+2x^2+1}{x^3-2} \\ \qquad \qquad \qquad =lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3}{x^3}\\ \qquad \qquad \qquad =2$

On conclut alors que la droite d'equation $y=2$ est asymptote horizontale en $-∞$ et $+∞$ .

1. Asymptotes verticales

Elles n’existent que pour $x$ tendant vers un nombre fini.

• Si $lim_{x \to \alpha}f(x)=+\infty$, alors $C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $X=\alpha$ en $+\infty$.

• Si $lim_{x \to \alpha }f(x)=-\infty$, alors $C_f$ admet une asymptote verticale d'équation $X=\alpha$ en $-\infty$.

1. Asymptotes obliques :

Elles n’existent que pour x tendant vers un « infini » (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou aux deux infinis).

• Si $lim_{x \to +\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$, alors $C_f$ admet la droite d'équation $y=ax+b$ comme asymptotes oblique en $+\infty$.

• Si $lim_{x \to -\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$, alors $C_f$ admet la droite d'équation $y=ax+b$ comme asymptotes oblique en $-\infty$.

1. Branche parabolique

Soit $f$ une fonction et $L$ un reel.

•Si $lim_{x \to \infty}f(x)= \infty$ et si $lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=L$ alors $C_f$ admet une branche parabolique de direction l'axe (OI).

•Si $lim_{x \to \infty}f(x)= \infty$ et si $lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\infty$ alors $C_f$ admet une branche parabolique de direction l'axe (OJ).